1) В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.
Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90° , поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника < 1 + < 2 = 90°
2) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором < А - прямой, < В = 30°, и значит, что < С = 60°.
Докажем, что ВС = 2АС.
Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD, как показано на рисунке.
Получим треугольник BCD, в котором < В = < D = 60°, поэтому DC = BC. Ho DC = 2AC.
Следовательно, ВС = 2АС.
Справедливо и обратное суждение.
3) В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.
1) 1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.
2) ∆ AOC - равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника).
Значит, у него углы при основании равны:∠OAC=∠OCA=α.
3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в треугольнике ABC ∠B=90º- α.
4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.
5) Рассмотрим треугольник BOC.
∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B.
Значит, треугольник BOC - равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника).
Отсюда BO=CO.
6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO.
Таким образом, точка O - середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO - медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы, ч.т.д.
