Равнобедренные треугольники
Что это? Свойства и признаки.
Равнобедренный треугольник -
Треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя, неравная им, сторона - основанием.
Примеры:
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство теоремы:
Пусть AС - основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK - общая, а так как DK - биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство теоремы:
1) Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH - общая сторона).
2) Значит, во-первых, AH = HC и BH - медиана.
3) Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH - высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Доказательство теоремы:
1) Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH - общая сторона).
2) Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH - биссектриса.
3) Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH - высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
